乘法逆元-白红宇

乘法逆元

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发布时间：2019-03-06

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1定义

乘法逆元，是指数学领域群G中任意一个元素a，都在G中有唯一的逆元a‘，具有性质a×a'=a'×a=e，其中e为该群的单位元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1

证明：首先证明充分性如果gcd(a,p) = 1，根据欧拉定理，aφ(p) ≡ 1 mod p，因此显然aφ(p)-1 mod p是a的模p乘法逆元。再证明必要性假设存在a模p的乘法逆元为ba ≡ 1 mod p 则 1 = ba - qp
根据贝祖定理，这个式子有整数解的充要条件是a和p的最大公约数整除1，故必须要满足gcd(a,p) = 1
举个例子，在模10的意义下，3的逆元为7，因为37与1在模10的意义下同余。

2.计算

下面的逆元均指在模运算下的逆元。

2.1费马小定理

根据费马小定理，如果p是质数，有\(a^{p-1}\equiv1(mod p)\)，其中a是整数，所以\(a^{p-2}\)为a的逆元，用快速幂即可，注意取模，这个逆元在模p状态下唯一。

代码：

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                #define dd double#define ll long long#define ull unsigned long long#define N 110#define M 20using namespace std;inline ll ksm(ll a,ll b,ll m){ ll res=1; while(b){ if(b&1) res=(res*a)%m; a=(a*a)%m; b>>=1; } return res%m;}int main(){ ll n,p; scanf("%lld%lld",&n,&p); for(int i=1;i<=n;i++){ printf("%lld\n",ksm(i,p-2,p)); }}

2.2 扩展欧几里得算法

根据扩展欧几里得算法，知道\(a*x\equiv1(mod p)\)(其实等价于\(k*p-a*x=1\)）有解，那么可以通过扩展欧几里得算法求出。这里不再赘述。

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                #define dd double#define ll long long#define ld long double#define ull unsigned long long#define N number#define M numberusing namespace std;inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if(b==0){ x=1; y=0; return a; } ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y); ll tmp=x; x=y; y=tmp-a/b*y; return gcd;}int main(){ ll a,b; scanf("%lld%lld",&a,&b); ll x,y; exgcd(a,b,x,y); printf("%lld",(x%b+b)%b);}

2.3递推求逆元

首先，我们用\(a^{-1}\)表示a的逆元，易知\(1^{-1}=1\equiv1(mod p)\)，所以1为1的逆元

还有递推公式证明：设\(q*k+r=p\)

则：\(q*k+r\equiv0(mod p)\)

\(k*r^{-1}+q^{-1}\equiv0(mod p)\)

\(q^{-1}\equiv{-k*r^{-1}}(mod p)\)

\(q^{-1}\equiv{(p-k)*r^{-1}}(mod p)\)

由此得出递推公式：inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;（设inv[i]为i的逆元）

代码：

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                #define dd double#define ll long long#define ull unsigned long long#define N 4000010#define M 20using namespace std;int inv[N];int main(){ ll n,p; scanf("%lld%lld",&n,&p); inv[1]=1; printf("%d\n",inv[1]); for(int i=2;i<=n;i++){ inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p; printf("%d\n",inv[i]); } return 0;}

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